PROGRAMACION LINEAL

La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone determinar qué decisiones resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en cuestión. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de valores para las variables que determinan una decisión, un valor de coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimización.

La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria.

Es la interrelación de los componentes de un sistema, en términos matemáticos (en forma ecuaciones o inecuaciones lineales) llamado Modelo de Programación Lineal.

Los Modelos Matemáticos de Programación Lineal pueden ser: de Maximización o de Minimización, indicados en la Función Objetivo del Modelo.

• MODELO P. L. MAXIMIZACIÓN: Cuando se desea maximizar o incrementar: las Utilidades,

Producción, Ventas, Beneficios, Rentabilidad, etc.

• MODELO P. L. MINIMIZACIÓN: Cuando se desea minimizar o disminuir: los Costos,

Pérdidas, Paradas, Desperdicios, distancias, etc.

¿CÓMO MODELAR MATEMATICAMENTE UN PROBLEMA?

No existe una metodología muy concreta acerca de cómo se debe modelar matemáticamente un problema y el asunto tiene mucho de intuición y arte.

Una forma sencilla y bastante general de ordenar el proceso de modelación, consiste en dividirlo en tres partes:

1. Definición de variables de decisión.

2. Planteamiento de las restricciones del problema.

3. Planteamiento de la función objetivo.

1.1. Definición de variables.

Como primer paso para poder modelar ordenadamente un problema de optimización debemos distinguir que variables son aquellas sobre las que podemos tomar decisiones en el problema y darles un nombre, es decir, debemos darnos cuenta que variables están bajo nuestro control.

A veces es necesario incluir variables que si bien no podemos ejercer una decisión directa sobre ellas, nos sirven como herramienta auxiliar ya sea para plantear restricciones o para escribir nuestra función objetivo. Serían variables de decisión por ejemplo la cantidad de producto a enviar desde el centro de producción i hasta el centro de consumo j (que podríamos llamar xij), la cantidad de insumos a adquirir en el período t (que podríamos llamar yt), el número de horas que destinaremos la máquina i a trabajar en el proceso j en el período t (que podríamos llamar zt ij), etc.

1.2. Planteamiento de restricciones.

En un problema de optimización, intentaremos buscar combinaciones de variables de decisión que generen un mejor valor de la función objetivo, pero en la práctica nuestro problema está limitado por un gran número de restricciones físicas, económicas, técnicas, etc. Es por esto que en el planteamiento de nuestro problema debemos especificar que limitantes tienen los valores que puedan tomar las variables de decisión. En síntesis, en esta parte debemos escribir matemáticamente las limitaciones que nos impone la naturaleza del problema.

1.3. Planteamiento de función objetivo.

En general podemos decir que en un problema de optimización se intenta encontrar el mejor valor 2 de algo. Es por esto que necesitamos especificar qué criterio usaremos para decir que una solución es mejor que otra. Para ello deberemos especificar una función de IRn a IR en que una combinación de variables será mejor que otra si genera un mayor valor de la función en el caso de maximización y un menor valor de la función en el caso de minimización.