MÉTODO GRÁFICO

El método gráfico se utiliza para la solución de problemas de PL, representando geométricamente a las restricciones, condiciones técnicas y el objetivo. El modelo se puede resolver en forma gráfica si sólo tiene dos variables. Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es impráctico o imposible.

En un problema de programación lineal intervienen:

·         La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.

·         Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades. Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.

·         Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución. La solución óptima del problema será un par de valores (x_0, y₀) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.

REGIÓN FACTIBLE

La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio. Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.

El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente: 1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra. 2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE EL MÉTODO GRÁFICO

 Los pasos necesarios para realizar el método son nueve:

1. Graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.

2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4. Trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.

5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.

6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

PROGRAMACION LINEAL

La programación matemática es una potente técnica de modelado usada en el proceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de este tipo, la primera etapa consiste en identificar las posibles decisiones que pueden tomarse; esto lleva a identificar las variables del problema concreto. Normalmente, las variables son de carácter cuantitativo y se buscan los valores que optimizan el objetivo. La segunda etapa supone determinar qué decisiones resultan admisibles; esto conduce a un conjunto de restricciones que se determinan teniendo presente la naturaleza del problema en cuestión. En la tercera etapa, se calcula el coste/beneficio asociado a cada decisión admisible; esto supone determinar una función objetivo que asigna, a cada conjunto posible de valores para las variables que determinan una decisión, un valor de coste/beneficio. El conjunto de todos estos elementos define el problema de optimización.

La programación lineal (PL), que trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales, es una parte de la programación matemática, y una de las áreas más importantes de la matemática aplicada. Se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria.

Es la interrelación de los componentes de un sistema, en términos matemáticos (en forma ecuaciones o inecuaciones lineales) llamado Modelo de Programación Lineal.

Los Modelos Matemáticos de Programación Lineal pueden ser: de Maximización o de Minimización, indicados en la Función Objetivo del Modelo.

• MODELO P. L. MAXIMIZACIÓN: Cuando se desea maximizar o incrementar: las Utilidades,

Producción, Ventas, Beneficios, Rentabilidad, etc.

• MODELO P. L. MINIMIZACIÓN: Cuando se desea minimizar o disminuir: los Costos,

Pérdidas, Paradas, Desperdicios, distancias, etc.

¿CÓMO MODELAR MATEMATICAMENTE UN PROBLEMA?

No existe una metodología muy concreta acerca de cómo se debe modelar matemáticamente un problema y el asunto tiene mucho de intuición y arte.

Una forma sencilla y bastante general de ordenar el proceso de modelación, consiste en dividirlo en tres partes:

1. Definición de variables de decisión.

2. Planteamiento de las restricciones del problema.

3. Planteamiento de la función objetivo.

1.1. Definición de variables.

Como primer paso para poder modelar ordenadamente un problema de optimización debemos distinguir que variables son aquellas sobre las que podemos tomar decisiones en el problema y darles un nombre, es decir, debemos darnos cuenta que variables están bajo nuestro control.

A veces es necesario incluir variables que si bien no podemos ejercer una decisión directa sobre ellas, nos sirven como herramienta auxiliar ya sea para plantear restricciones o para escribir nuestra función objetivo. Serían variables de decisión por ejemplo la cantidad de producto a enviar desde el centro de producción i hasta el centro de consumo j (que podríamos llamar xij), la cantidad de insumos a adquirir en el período t (que podríamos llamar yt), el número de horas que destinaremos la máquina i a trabajar en el proceso j en el período t (que podríamos llamar zt ij), etc.

1.2. Planteamiento de restricciones.

En un problema de optimización, intentaremos buscar combinaciones de variables de decisión que generen un mejor valor de la función objetivo, pero en la práctica nuestro problema está limitado por un gran número de restricciones físicas, económicas, técnicas, etc. Es por esto que en el planteamiento de nuestro problema debemos especificar que limitantes tienen los valores que puedan tomar las variables de decisión. En síntesis, en esta parte debemos escribir matemáticamente las limitaciones que nos impone la naturaleza del problema.

1.3. Planteamiento de función objetivo.

En general podemos decir que en un problema de optimización se intenta encontrar el mejor valor 2 de algo. Es por esto que necesitamos especificar qué criterio usaremos para decir que una solución es mejor que otra. Para ello deberemos especificar una función de IRn a IR en que una combinación de variables será mejor que otra si genera un mayor valor de la función en el caso de maximización y un menor valor de la función en el caso de minimización.

MODELO MATEMATICO

Un modelo matemático es producto de la abstracción de un sistema real, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una técnica matemática y se obtiene una representación simbólica del mismo.

Un modelo matemático consta al menos de tres elementos o condiciones básicos:

1. Variables de decisión y parámetros: Las variables de decisión son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos del sistema o bien que se pueden controlar.

Las variables de decisión se representan por: X1,  X2,  X3,…, Xn   ó   Xi ,  i = 1, 2, 3, …, n

2. Función Objetivo: La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión, parámetros y  una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Es la medición de la efectividad en función de las variables. Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).

Por ejemplo, si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.

La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo; para un conjunto de valores factibles de las variables. Es decir, hay que determinar las variables x1, x2, x3,..., xn que optimicen el valor de Z = f(x1, x2, x3,..., xn) sujeto a las restricciones de la forma g(x1, x2, x3,..., xn) b. Donde x1, x2, x3,..., xn son las variables de decisión; Z es la función objetivo,  f es una función matemática.

3. Restricciones: Las restricciones son relaciones entre las variables de decisión y magnitudes que dan sentido a la solución del problema y las acotan a valores factibles.

Las restricciones del modelo limitan el valor de las variables de decisión. Son los recursos disponibles limitados. Incluye la Restricción de No Negatividad de las Variables de decisión, o sea: Xi  ≥ 0.

Por ejemplo, si una de las variables de decisión representa el número de empleados de un taller, es evidente que el valor de esa variable no puede ser negativo. O también, si una de las variables es la cantidad de mesas a fabricar, su valor solamente podrá ser igual a 0 (cero) o mayor que cero, o sea positivo.

MODELOS EN LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

¿Qué es un modelo?

Un modelo es una representación ideal de un sistema real y de la forma cómo opera o funciona. Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad.

El modelo, se define como una función objetivo con restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema.

¿Cuál es el objetivo de un modelo?

El objetivo de un modelo es analizar el comportamiento del sistema, o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo.

Modelo de decisión:

Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión, en forma tal de que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa óptima, que será la mejor entre todas las opciones o  soluciones disponibles.

REPRESENTACION DEL MODELO

La representación del modelo puede ser de la siguiente manera:

• Conceptual: Cuando se representa la situación real por una descripción cualitativa bien organizada, que permite la medición de sus factores.

• Matemático: Se refiere a una representación numérica por aspectos lógicos y estructurados con aspectos de la ciencia matemática. Pueden ser números, letras, imágenes, símbolos. Por ejemplo si se refiere a un modelo gráfico de matemáticas, se observan imágenes y gráficas matemáticas, que representan a un modelo numérico y de ecuaciones, los cuales son expresiones visuales basadas en aspectos cuantificables y de la ciencia matemática.

• Físico: Basado en aspectos de la ciencia física, de aquellos movimientos de los cuerpos, y que además es cuantificable. Estos modelos generalmente representan el fenómeno estudiado utilizando las mismas relaciones físicas del prototipo, pero reduciendo su escala para hacerlo manejable. Por ejemplo, pertenecen a este tipo de modelo las representaciones a escalas reducidas de presas hidráulicas, puertos, o de elementos de estas obras, como un vertedero o una escollera, etc.

CONCEPTO

La Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, etc. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño.

La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas.